Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{2 x - 10}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x - 5$ y ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $x - 5$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x - 5$ de ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{(x - 5) (x - 5)} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{(x - 5) (x - 5)} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5

Factoriza $2$ de $2 x - 10$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x) - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 x + 2 \cdot - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Paso 6.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 6.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x + 5$ de ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{(x + 5) (x + 5)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{(x + 5) (x + 5)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x + 5}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x - 5$ de $2 (x - 5)$ .

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) \cdot 2}{x + 5}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) \cdot 2}{x + 5}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x + 5}$