Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$(- \infty, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $(- \infty, \infty)$ en una desigualdad.

$- \infty < y < \infty$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Paso 2.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- \frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.1.1

Simplifica ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.2.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.2.4

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.1.1.2

Simplifica.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.4.2.1

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2.4.2.3.2

Combinar.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.2.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4.4

Divide cada término en $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.4.4.1

Divide cada término en $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Paso 2.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2.4.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

Paso 4