Álgebra Ejemplos

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) = 1$

Paso 2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{2}{3} x - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Paso 5

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Paso 6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Resta $0$ de $2 π$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{3} = 2 π + \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 9.2.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 9.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 9.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{4 π + π}{2}$

Paso 9.2.5.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{5 π}{2}$

Paso 9.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 9.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 9.4.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 9.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.4.2.1

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Paso 9.4.2.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{5 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{2 \cdot 2}$

Paso 9.4.2.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \frac{15 π}{2 \cdot 2}$

Paso 9.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $\frac{2}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Paso 10.3

$\frac{2}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{6}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Paso 10.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{3}{2}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Paso 10.5.2

Cancela el factor común.

$2 π \frac{3}{2}$

Paso 10.5.3

Reescribe la expresión.

$π \cdot 3$

Paso 10.6

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$3 π$

Paso 11

El período de la función $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ es $3 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $3 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n, \frac{15 π}{4} + 3 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , para cualquier número entero $n$