Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x^{2} - 9} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 3) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x - 2) - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 4 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 9 x}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.6

Resta $9 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 7 x - 4 - 3 x^{2}}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.7

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x^{2} - 7 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot - 4 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 6.8.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 7 (x) - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 3 - 4) x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 x - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 3 x) - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 x (- x - 1) + 4 (- x - 1)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$