Álgebra Ejemplos

$y = (- 10 + 5 s) (- 9 + 9 s)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Expande $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 (- 9 + 9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Paso 1.1.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Paso 1.1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Paso 1.1.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.2.1.1

Multiplica $- 10$ por $- 9$ .

$90 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Paso 1.1.1.1.2.1.2

Multiplica $9$ por $- 10$ .

$90 - 90 x + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Paso 1.1.1.1.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $5$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 x (9 x)$

Paso 1.1.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x \cdot x$

Paso 1.1.1.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 (x \cdot x)$

Paso 1.1.1.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x^{2}$

Paso 1.1.1.1.2.1.6

Multiplica $5$ por $9$ .

$90 - 90 x - 45 x + 45 x^{2}$

Paso 1.1.1.1.2.2

Resta $45 x$ de $- 90 x$ .

$90 - 135 x + 45 x^{2}$

Paso 1.1.1.1.3

Mueve $90$ .

$- 135 x + 45 x^{2} + 90$

Paso 1.1.1.1.4

Reordena $- 135 x$ y $45 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 135 x + 90$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 45$

$b = - 135$

$c = 90$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 135}{2 \cdot 45}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 135$ y $45$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Factoriza $45$ de $- 135$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{2 \cdot 45}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.4.2.1.2.1

Factoriza $45$ de $2 \cdot 45$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{2}$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 90 - \frac{{(- 135)}^{2}}{4 \cdot 45}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Eleva $- 135$ a la potencia de $2$ .

$e = 90 - \frac{18225}{4 \cdot 45}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $45$ .

$e = 90 - \frac{18225}{180}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3

Cancela el factor común de $18225$ y $180$ .

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Paso 1.1.1.5.2.1.3.1

Factoriza $45$ de $18225$ .

$e = 90 - \frac{45 (405)}{180}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.5.2.1.3.2.1

Factoriza $45$ de $180$ .

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 90 - \frac{405}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Para escribir $90$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = 90 \cdot \frac{4}{4} - \frac{405}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Combina $90$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{90 \cdot 4}{4} - \frac{405}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{90 \cdot 4 - 405}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.2.5.1

Multiplica $90$ por $4$ .

$e = \frac{360 - 405}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5.2

Resta $405$ de $360$ .

$e = \frac{- 45}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{45}{4}$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 45$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{45}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 45}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $45$ .

$\frac{1}{180}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1013}{90}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1013}{90}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1013}{90}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (- 10 + 5 (1)) (- 9 + 9 (1))$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5) (- 9 + 9 (1))$

Paso 2.2.2

Suma $- 10$ y $5$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9 (1))$

Paso 2.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9)$

Paso 2.2.4

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (1) = - 5 \cdot 0$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1013}{90}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Paso 4