Álgebra Ejemplos

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 5$

$x = 2, - 2$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = - 5, 2, - 2$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 10.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 10.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 10.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 10.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 10.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 10.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 10.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{{((- 8) + 5)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 4} \geq 0$

Paso 12.1.3

$0.15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{((- 4) + 5)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 4} \geq 0$

Paso 12.2.3

$0.08\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{((0) + 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4} \geq 0$

Paso 12.3.3

$- 6.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{((4) + 5)}^{2}}{{(4)}^{2} - 4} \geq 0$

Paso 12.4.3

$6.75$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $- 5 \leq x < - 2$ o $x > 2$

Paso 14

Combina los intervalos.

$x < - 2 or x > 2$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or x > 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Paso 16