Álgebra Ejemplos

$2 y = {(x - 3)}^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $2 y = {(x - 3)}^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1.1.1

Divide cada término en $2 y = {(x - 3)}^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 0$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 0)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{1}{2})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 0)$

Foco: $(3, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 0)$

Foco: $(3, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{((1) - 3)}^{2}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (1) = \frac{4}{2}$

Paso 2.2.2

Divide $4$ por $2$ .

$f (1) = 2$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{{((2) - 3)}^{2}}{2}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Resta $3$ de $2$ .

$f (2) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Paso 2.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{{((5) - 3)}^{2}}{2}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Resta $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{2^{2}}{2}$

Paso 2.8.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{4}{2}$

Paso 2.8.2

Divide $4$ por $2$ .

$f (5) = 2$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{((4) - 3)}^{2}}{2}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1.1

Resta $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{1^{2}}{2}$

Paso 2.11.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (4) = \frac{1}{2}$

Paso 2.11.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \\ 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{2} \\ 5 & 2 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(3, 0)$

Foco: $(3, \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \\ 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{2} \\ 5 & 2 \end{array}$

Paso 4