Álgebra Ejemplos

$4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 5

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $4 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Paso 6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{4}, 1$

Paso 8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Paso 9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 10.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 10.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 10.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 1$

Paso 12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 12.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 13

La solución a $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ es $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Forma decimal:

$x = 0.5, - 0.5, 1, - 1$