Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{100 x^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{32 x^{4}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{100 x^{2}}$ como ${(100 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(100 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} \sqrt{32 x^{4}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(100 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} \sqrt{32 x^{4}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{32 x^{4}}$ como ${(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(100 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $100 x^{2}$ .

$\frac{100^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.5

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{{(10^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{10^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10^{1} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.8

Evalúa el exponente.

$\frac{10 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.9

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 x^{2 (\frac{1}{2})} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{2 (\frac{1}{2})} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10 x^{1} + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.10

Simplifica.

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} {(32 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.11

Aplica la regla del producto a $32 x^{4}$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} {(x^{4})}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.12

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} x^{4 (\frac{1}{2})})}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.12.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.12.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} x^{2 (2) \frac{1}{2}})}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 x + 2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} x^{2})}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13

Multiplica $2^{\frac{1}{2}} (32^{\frac{1}{2}} x^{2})$ .

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Paso 1.13.1

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{10 x + {(2^{5})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.13.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 x + 2^{5 (\frac{1}{2})} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.2.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 x + 2^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 x + 2^{\frac{5 + 1}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.5

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{6}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.13.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{10 x + 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 x + 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 x + 2^{\frac{3}{1}} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.13.6.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{10 x + 2^{3} x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.14

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{10 x + 8 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.15

Factoriza $2 x$ de $10 x + 8 x^{2}$ .

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Paso 1.15.1

Factoriza $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{2 x (5) + 8 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.15.2

Factoriza $2 x$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 x (5) + 2 x (4 x)}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 1.15.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (5) + 2 x (4 x)$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x)}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{2 x (5 + 4 x)}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x)}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 x (5 + 4 x)}{\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x}}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{(\sqrt{x^{2} + 14} - 3 \sqrt{x}) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{\sqrt{x^{2} + 14}}^{2} + 3 \sqrt{(x^{2} + 14) x} - 3 \sqrt{(x^{2} + 14) x} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 14}}^{2}$ como $x^{2} + 14$ .

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Paso 3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 14}$ como ${(x^{2} + 14)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{({(x^{2} + 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{(x^{2} + 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{(x^{2} + 14)}^{\frac{2}{2}} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{(x^{2} + 14)}^{\frac{2}{2}} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{{(x^{2} + 14)}^{1} - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Simplifica.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 x^{1}}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{x^{2} + 14 - 9 x}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 14 - 9 x$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 7, - 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x (5 + 4 x) (\sqrt{x^{2} + 14} + 3 \sqrt{x})}{(x - 7) (x - 2)}$