Álgebra Ejemplos

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1^{2}} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, (y + 1) (y - 1), y + 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $y + 1$ es $y + 1$ en sí mismo.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $y - 1$ es $y - 1$ en sí mismo.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $y + 1$ es $y + 1$ en sí mismo.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $y + 1, y - 1, y + 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y + 1) (y - 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y (y - 1) + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$y (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y (y^{2} - y + y - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$y (y^{2} + 0 - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.2.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$y (y^{2} - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.2.1.4.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + 2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$y^{3} - 1 \cdot y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.6

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $(y + 1) (y - 1)$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = (y^{2} + y + 2) (y - 1)$

Paso 3.3.2

Expande $(y^{2} + y + 2) (y - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - 1 \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - 1 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.6

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$

Paso 3.3.3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.3.2.1

Combina los términos opuestos en $y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + 0 - y + 2 y - 2$

Paso 3.3.3.2.1.2

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y + 2 y - 2$

Paso 3.3.3.2.2

Suma $- y$ y $2 y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y - 2$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} = y - 2$

Paso 4.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y = - 2$

Paso 4.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y$ .

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Paso 4.1.3.1

Resta $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$- y + y^{2} - 5 + 0 - y = - 2$

Paso 4.1.3.2

Suma $- y + y^{2} - 5$ y $0$ .

$- y + y^{2} - 5 - y = - 2$

Paso 4.1.4

Resta $y$ de $- y$ .

$- 2 y + y^{2} - 5 = - 2$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y + y^{2} - 5 + 2 = 0$

Paso 4.3

Suma $- 5$ y $2$ .

$- 2 y + y^{2} - 3 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$- 2 u + u^{2} - 3 = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza $- 2 u + u^{2} - 3$ con el método AC.

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Paso 4.4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 4.4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(y - 3) (y + 1) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 4.6

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.6.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 4.7

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 4.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 3) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 3, - 1$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ sea verdadera.

$y = 3$