Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.2

Combina $- x$ y $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.4

Resta $x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.6

Reescribe $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ en forma factorizada.

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Paso 2.4.6.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.6.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.6.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.4.6.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.6

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 10

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Paso 15.1.3

$- 0.17647058$ del lado izquierdo no es menor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{3} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{3} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Paso 15.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.37$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $1.37$ en la desigualdad original.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Paso 15.3.3

$1.51444262$ del lado izquierdo no es menor que $1.37$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Paso 15.4.3

$1.70588235$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Verdadero

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Verdadero

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \sqrt{3} < x < 1$ o $x > \sqrt{3}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Notación de intervalo:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Paso 18