Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 15 x + 50$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $50$ y cuya suma es $15$ .

$5, 10$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 3

Factoriza $x$ de $- x^{2} - 10 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 10 x + 16$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $10$ .

$2, 8$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ por $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x + 10$ y $- x - 10$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.4.2

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x$ de $13 x^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

Paso 8.1.3

Factoriza $x$ de $40 x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

Paso 8.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

Paso 8.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

Paso 8.2

Factoriza $x^{2} + 13 x + 40$ con el método AC.

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Paso 8.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $13$ .

$5, 8$

Paso 8.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x + 8}{x}$ al numerador.

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Paso 9.1.2

Factoriza $x + 8$ de $- (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Paso 9.1.3

Factoriza $x + 8$ de $x (x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Paso 9.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{- 1}{x}$ por $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

Paso 10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

Paso 11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

Paso 13

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Paso 14

Cancela el factor común de $5 + x$ y $x + 5$ .

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Paso 14.1

Reordena los términos.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$