Álgebra Ejemplos

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la razón del ángulo doble tangente.

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (θ)$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Paso 2

Factoriza $\tan (θ)$ de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\tan (θ)$ de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Paso 2.2

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $\tan (θ)$ de $\tan^{1} (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

Paso 2.4

Factoriza $\tan (θ)$ de $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ .

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Paso 4

Establece $\tan (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 4.1

Establece $\tan (θ)$ igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\tan (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 4.2.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + 0$

Paso 4.2.4

Suma $π$ y $0$ .

$θ = π$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 5.1

Establece $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ igual a $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 5.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

Paso 5.2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

Paso 5.2.2

Multiplica cada término en $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ por $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ por $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común de $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.2

Multiplica $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ por $1$ .

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.3

Expande $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- \tan (θ)$ por $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.1.3

Multiplica $\tan (θ)$ por $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.1.5

Multiplica $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.2.1.4.1.5.1

Mueve $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.1.5.2

Multiplica $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.2

Suma $- \tan (θ)$ y $\tan (θ)$ .

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.1.4.3

Suma $1$ y $0$ .

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Expande $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.3.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.2.1.2

Multiplica $- \tan (θ)$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.2.1.3

Multiplica $\tan (θ)$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

Paso 5.2.2.3.2.1.5

Multiplica $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.3.2.1.5.1

Mueve $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

Paso 5.2.2.3.2.1.5.2

Multiplica $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

Paso 5.2.2.3.2.2

Suma $- \tan (θ)$ y $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

Paso 5.2.2.3.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

Paso 5.2.2.3.3

Multiplica $0$ por $1 - \tan^{2} (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

Paso 5.2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.2.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

Paso 5.2.3.2

Divide cada término en $- \tan^{2} (θ) = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.2.1

Divide cada término en $- \tan^{2} (θ) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 5.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Divide $\tan^{2} (θ)$ por $1$ .

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 5.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Paso 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 5.2.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Paso 5.2.5

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 5.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.2.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Paso 5.2.5.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Paso 5.2.5.4.3.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.5.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 5.2.5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.5.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.5.6

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.6

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 5.2.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.6.2.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Paso 5.2.6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.6.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 5.2.6.4.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 5.2.6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.6.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.6.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.6.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Paso 5.2.6.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.6.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.2.6.6.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.7

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.7

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8

Consolida las soluciones.

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Paso 5.2.8.1

Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ verdadera.

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$