Álgebra Ejemplos

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $300 x e^{- 2.5 x}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el término $300$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Paso 3.2

Reescribe $x e^{- 2.5 x}$ como $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Paso 3.3

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.1.3

Como el exponente $2.5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{2.5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Paso 3.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Paso 3.3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2.5 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Paso 3.3.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Paso 3.3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Paso 3.3.3.4

Como $2.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2.5 x$ con respecto a $x$ es $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Paso 3.3.3.6

Multiplica $2.5$ por $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Paso 3.3.3.7

Mueve $2.5$ a la izquierda de $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.4

Reescribe $1$ como $1 (1)$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.5

Factoriza $2.5$ de $2.5 e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Paso 3.3.6

Separa las fracciones.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.7

Divide $1$ por $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Paso 3.3.8

Combina $0.4$ y $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Paso 3.4

Mueve el término $0.4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ se acerca a $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Paso 3.6

Multiplica por cero.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica $0.4$ por $0$ .

$300 \cdot 0$

Paso 3.6.2

Multiplica $300$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7