Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x}$

Paso 1

Resta $\sqrt{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x} - \sqrt{2}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{x + 6})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 6}$ como ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 6)}^{1} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica.

$x + 6 \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ .

$x + 6 \leq (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 6 \leq 1 \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$x + 6 \leq \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.1.4

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 6 \leq {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 6 \leq x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 \leq x^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$x + 6 \leq x - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- \sqrt{x} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 6 \leq x + 1 \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{x})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.6.5

Evalúa el exponente.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $\sqrt{x \cdot 2}$ y $\sqrt{2 x}$ .

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Paso 3.3.1.3.2.1

Reordena $x$ y $2$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{2 \cdot x} + \sqrt{2 x} + 2$

Paso 3.3.1.3.2.2

Suma $\sqrt{2 \cdot x}$ y $\sqrt{2 x}$ .

$x + 6 \leq x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{2 \cdot x}$

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Paso 4.1

Reescribe para que $2 \sqrt{2 \cdot x}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{2 \cdot x}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6 - x$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq x + 6 - x - 2$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $x + 6 - x - 2$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 0 + 6 - 2$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $6$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 6 - 2$

Paso 4.2.4

Resta $2$ de $6$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 4$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{2 \cdot x})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 \cdot x}$ como ${(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.2.1

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $2^{\frac{1}{2}}$ por $2$ .

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Paso 6.2.1.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.3

Aplica la regla del producto a $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$8 x^{1} \geq 4^{2}$

Paso 6.2.1.7

Simplifica.

$8 x \geq 4^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$8 x \geq 16$

Paso 7

Divide cada término en $8 x \geq 16$ por $8$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $8 x \geq 16$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{16}{8}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $16$ por $8$ .

$x \geq 2$

Paso 8

Obtén el dominio de $\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} + \sqrt{x}$ .

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Paso 8.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 6}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 6 \geq 0$

Paso 8.2

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 6$

Paso 8.3

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 8.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{2} - \sqrt{(- 2) + 6} \leq - \sqrt{- 2}$

Paso 10.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\sqrt{2} - \sqrt{(1) + 6} \leq - \sqrt{1}$

Paso 10.2.3

$- 1.23153774$ del lado izquierdo es menor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{2} - \sqrt{(4) + 6} \leq - \sqrt{4}$

Paso 10.3.3

$- 1.74806409$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 2$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 \leq x \leq 2$

Notación de intervalo:

$[0, 2]$

Paso 13