Álgebra Ejemplos

$g (n) = - (3 n - 1) (2 n + 1)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- (3 x - 1) (2 x + 1)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (3 x) - - 1) (2 x + 1)$

Paso 1.1.1.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(- 3 x - - 1) (2 x + 1)$

Paso 1.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(- 3 x + 1) (2 x + 1)$

Paso 1.1.1.1.4

Expande $(- 3 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Paso 1.1.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Paso 1.1.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$- 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 6 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.1.5.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1$

Paso 1.1.1.1.5.2

Suma $- 3 x$ y $2 x$ .

$- 6 x^{2} - x + 1$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 6$

$b = - 1$

$c = 1$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 6}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$d = \frac{- 1}{- 12}$

Paso 1.1.1.4.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{1}{12}$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 6}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot - 6}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$e = 1 - \frac{1}{- 24}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 1 - - \frac{1}{24}$

Paso 1.1.1.5.2.1.4

Multiplica $- - \frac{1}{24}$ .

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Paso 1.1.1.5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{1}{24})$

Paso 1.1.1.5.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{24}$ por $1$ .

$e = 1 + \frac{1}{24}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{24}{24} + \frac{1}{24}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{24 + 1}{24}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Suma $24$ y $1$ .

$e = \frac{25}{24}$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$ .

$- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 6$

$h = - \frac{1}{12}$

$k = \frac{25}{24}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 6}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$\frac{1}{- 24}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{24}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{12}, 1)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{1}{12}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{13}{12}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{12}$

Directriz: $y = \frac{13}{12}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{12}$

Directriz: $y = \frac{13}{12}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - (3 (- 1) - 1) (2 (- 1) + 1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - (- 3 - 1) (2 (- 1) + 1)$

Paso 2.2.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$f (- 1) = 4 (2 (- 1) + 1)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 4 (- 2 + 1)$

Paso 2.2.4

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1$

Paso 2.2.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - (3 (- 2) - 1) (2 (- 2) + 1)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - (- 6 - 1) (2 (- 2) + 1)$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de $- 6$ .

$f (- 2) = 7 (2 (- 2) + 1)$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 7 (- 4 + 1)$

Paso 2.5.4

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (- 2) = 7 \cdot - 3$

Paso 2.5.5

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$f (- 2) = - 21$

Paso 2.5.6

La respuesta final es $- 21$ .

$- 21$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 21$ .

$y = - 21$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - (3 (1) - 1) (2 (1) + 1)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = - (3 - 1) (2 (1) + 1)$

Paso 2.8.2

Resta $1$ de $3$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 (2 (1) + 1))$

Paso 2.8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (1) = - 2 (2 (1) + 1)$

Paso 2.8.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 (2 + 1)$

Paso 2.8.5

Suma $2$ y $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 3$

Paso 2.8.6

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (1) = - 6$

Paso 2.8.7

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - (3 (2) - 1) (2 (2) + 1)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = - (6 - 1) (2 (2) + 1)$

Paso 2.11.2

Resta $1$ de $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot (5 (2 (2) + 1))$

Paso 2.11.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (2) = - 5 (2 (2) + 1)$

Paso 2.11.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = - 5 (4 + 1)$

Paso 2.11.5

Suma $4$ y $1$ .

$f (2) = - 5 \cdot 5$

Paso 2.11.6

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (2) = - 25$

Paso 2.11.7

La respuesta final es $- 25$ .

$- 25$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 25$ .

$y = - 25$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{12}$

Directriz: $y = \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Paso 4