Álgebra Ejemplos

$y = - 2$ ${(x - 1)}^{2} - 5$

Paso 1

Grafica $y = - 2$ .

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Paso 1.1

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente y la intersección con y.

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Paso 1.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.1.2

Obtén los valores de $m$ y $b$ con la forma $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = - 2$

Paso 1.1.3

La pendiente de la línea es el valor de $m$ y la intersección con y es el valor de $b$ .

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, - 2)$

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, - 2)$

Paso 1.2

Obtén dos puntos en la línea.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Paso 1.3

Grafica la línea mediante la pendiente, la intersección con y, y dos puntos.

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Pendiente: $0$

intersección con y: $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Paso 2

Grafica ${(x - 1)}^{2} - 5$ .

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Paso 2.1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 5$

Paso 2.1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 5)$

Paso 2.1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.1.5

Obtén el foco.

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Paso 2.1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - \frac{19}{4})$

Paso 2.1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 2.1.7

Obtén la directriz.

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Paso 2.1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{21}{4}$

Paso 2.1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 5)$

Foco: $(1, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{21}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 5)$

Foco: $(1, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{21}{4}$

Paso 2.2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Paso 2.2.2.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.2.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 4$

Paso 2.2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 4$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = 3 - 4$

Paso 2.2.5.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 2.2.5.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.2.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.2.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 4$

Paso 2.2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.8.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 4$

Paso 2.2.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 4$

Paso 2.2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.8.2.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (2) = 0 - 4$

Paso 2.2.8.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (2) = - 4$

Paso 2.2.8.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.2.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.2.10

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 2.2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.11.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 2.2.11.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 4$

Paso 2.2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.11.2.1

Resta $6$ de $9$ .

$f (3) = 3 - 4$

Paso 2.2.11.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$f (3) = - 1$

Paso 2.2.11.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.2.12

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Paso 2.3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 5)$

Foco: $(1, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 5)$

Foco: $(1, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Paso 3

Traza cada gráfica en el mismo sistema de coordenadas.

$y = - 2$

${(x - 1)}^{2} - 5$

Paso 4