Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x}{x^{2} + x - 42} \div \frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 x}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{3}}$

Paso 2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{x \cdot 4}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{3}}$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x \cdot x^{2}}$

Paso 2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 4}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x \cdot x^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{4}{x^{2} + x - 42}$ por $\frac{x^{2} - 49}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 49)}{(x^{2} + x - 42) x^{2}}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7^{2})}{(x^{2} + x - 42) x^{2}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{(x^{2} + x - 42) x^{2}}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + x - 42$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $1$ .

$- 6, 7$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{(x - 6) (x + 7) x^{2}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{(x - 6) (x + 7) x^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 7)}{(x - 6) x^{2}}$

Paso 7

Reordena los factores en $\frac{4 (x - 7)}{(x - 6) x^{2}}$ .

$\frac{4 (x - 7)}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 7}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 9

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$\frac{4 x - 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 10

Divide la fracción $\frac{4 x - 28}{x^{2} (x - 6)}$ en dos fracciones.

$\frac{4 x}{x^{2} (x - 6)} + \frac{- 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 11

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 11.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{x \cdot 4}{x^{2} (x - 6)} + \frac{- 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x - 6)$ .

$\frac{x \cdot 4}{x (x (x - 6))} + \frac{- 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 4}{x (x (x - 6))} + \frac{- 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x (x - 6)} + \frac{- 28}{x^{2} (x - 6)}$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{x (x - 6)} - \frac{28}{x^{2} (x - 6)}$