Álgebra Ejemplos

$2 \log_{4} (64) = 3 \log_{4} (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $3 \log_{4} (x) = 2 \log_{4} (64)$ .

$3 \log_{4} (x) = 2 \log_{4} (64)$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica $3 \log_{4} (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} (x^{3}) = 2 \log_{4} (64)$

Paso 2.2

Simplifica $2 \log_{4} (64)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} (x^{3}) = \log_{4} (64^{2})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{3} = 64^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $64^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 64^{2} = 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} - 1 \cdot 4096 = 0$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $4096$ .

$x^{3} - 4096 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Reescribe $4096$ como $16^{3}$ .

$x^{3} - 16^{3} = 0$

Paso 4.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 16$ .

$(x - 16) (x^{2} + x \cdot 16 + 16^{2}) = 0$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Mueve $16$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 16) (x^{2} + 16 x + 16^{2}) = 0$

Paso 4.3.3.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$(x - 16) (x^{2} + 16 x + 256) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

$x^{2} + 16 x + 256 = 0$

Paso 4.5

Establece $x - 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x - 16$ igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16$

Paso 4.6

Establece $x^{2} + 16 x + 256$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x^{2} + 16 x + 256$ igual a $0$ .

$x^{2} + 16 x + 256 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $x^{2} + 16 x + 256 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 16$ y $c = 256$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.2.3.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Paso 4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.3

Resta $1024$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 768$ como $- 1 (768)$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (768)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.7

Reescribe $768$ como $16^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $256$ de $768$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Paso 4.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 16) (x^{2} + 16 x + 256) = 0$ verdadera.

$x = 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$