Álgebra Ejemplos

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ .

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ como ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 3.2

Expande $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ como $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 3.4

Expande $\ln (2^{a})$ ; para ello, mueve $a$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 3.5

Expande $\ln (3^{b})$ ; para ello, mueve $b$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 4.1.2

Multiplica $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

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Paso 4.1.2.1

Combina $a$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 4.1.2.2

Combina $\frac{a}{2}$ y $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

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Paso 4.1.3.1

Combina $b$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Paso 4.1.3.2

Combina $\frac{b}{2}$ y $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica $\ln (\sqrt{648})$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe $648$ como $18^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $324$ de $648$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Paso 5.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Paso 6

Multiplica cada término en $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1

Multiplica cada término en $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ por $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Paso 6.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Paso 6.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $b \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Paso 8.2

Suma $2 \ln (18 \sqrt{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Paso 9

Divide cada término en $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$