Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{y^{2} - y - 2}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} - y - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{y - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{2}{y + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 2) (y + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{y - 2}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2}{y + 1}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y - 2) (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{(y + 1) (y - 2)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2) - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1 + 2 y + 2 \cdot - 2 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 1 \cdot 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $y + 1 + 2 y - 4 - y - 2$ .

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Paso 7.1.1

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 + 0 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 7.1.2

Suma $1 + 2 y - 4$ y $0$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 7.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{2 y - 3 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Paso 7.2.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$\frac{2 y - 5}{(y + 1) (y - 2)}$