Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Paso 1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} - 2^{2}} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 2) (x - 2), x + 2, x - 2$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x + 2) (x - 2)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $(x + 2) (x - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 = 2 (x - 2) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 = 2 x + 2 \cdot - 2 + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 3.3.1.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.4.1

Factoriza $x - 2$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Paso 3.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Paso 3.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$3 = 2 x - 4 + x (x + 2)$

Paso 3.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 = 2 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 2$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 = 2 x - 4 + x^{2} + x \cdot 2$

Paso 3.3.1.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 = 2 x - 4 + x^{2} + 2 x$

Paso 3.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$3 = 4 x - 4 + x^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 x - 4 + x^{2} = 3$ .

$4 x - 4 + x^{2} = 3$

Paso 4.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 4 + x^{2} - 3 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$4 x + x^{2} - 7 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = - 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Suma $16$ y $28$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{11}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{11}, - 2 - \sqrt{11}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 2 + \sqrt{11}, - 2 - \sqrt{11}$

Forma decimal:

$x = 1.31662479 \dots, - 5.31662479 \dots$