Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 4}{2 x + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x + 10$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x + 4}{2 (x) + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{x + 4}{2 x + 2 \cdot 5} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 5^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (x + 5) (x - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{(x + 5) (x - 5) \cdot 2}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 5) (x - 5) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 4) (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x + 4) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 5) + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 5 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 10}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.4

Resta $10$ de $- 20$ .

$\frac{x^{2} - x - 30}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6.5

Factoriza $x^{2} - x - 30$ con el método AC.

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Paso 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 6, 5$

Paso 6.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 6}{2 (x - 5)}$