Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = - 1$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 2, - 1$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x + 1) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 8.2.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 8.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8.2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 1$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) + 2)}{((- 4) + 2) ((- 4) + 1)} \leq 0$

Paso 10.1.3

$- 5.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.5$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 1.5)}^{2} ((- 1.5) + 2)}{((- 1.5) + 2) ((- 1.5) + 1)} \leq 0$

Paso 10.2.3

$- 4.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) + 2)}{((- 0.5) + 2) ((- 0.5) + 1)} \leq 0$

Paso 10.3.3

$0.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) + 2)}{((2) + 2) ((2) + 1)} \leq 0$

Paso 10.4.3

$1.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $- 2 < x < - 1$ o $x = 0$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or - 2 < x < - 1 or x = 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup [0, 0]$

Paso 13