Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \tan (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\tan (x)$ .

$u^{2} + u - 12 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} + u - 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 3) (\tan (x) + 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (x) - 3 = 0$

$\tan (x) + 4 = 0$

Paso 3

Establece $\tan (x) - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\tan (x) - 3$ igual a $0$ .

$\tan (x) - 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\tan (x) - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = 3$

Paso 3.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (3)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Evalúa $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Paso 3.2.4

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Paso 3.2.5

Resuelve $x$

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Paso 3.2.5.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Paso 3.2.5.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Paso 3.2.5.3

Suma $3.14159265$ y $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\tan (x) + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\tan (x) + 4$ igual a $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\tan (x) + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 4$

Paso 4.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 4)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Evalúa $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Paso 4.2.4

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 4.2.5.1

Suma $2 π$ a $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 4.2.5.2

El ángulo resultante de $1.81577498$ es positivo y coterminal con $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2.7

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 4.2.7.1

Suma $π$ y $- 1.32581766$ para obtener el ángulo positivo.

$- 1.32581766 + π$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 1.32581766$

Paso 4.2.7.3

Resta $1.32581766$ de $3.14159265$ .

$1.81577498$

Paso 4.2.7.4

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 1.81577498$

Paso 4.2.8

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\tan (x) - 3) (\tan (x) + 4) = 0$ verdadera.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Consolida las respuestas.

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Paso 6.1

Consolida $1.24904577 + π n$ y $4.39063842 + π n$ en $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.2

Consolida $1.81577498 + π n$ y $1.81577498 + π n$ en $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, 1.81577498 + π n$ , para cualquier número entero $n$