Álgebra Ejemplos

$\csc^{2} (θ) - 2 = 0$

Paso 1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc^{2} (θ) = 2$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2}$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Paso 3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\csc (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Paso 5

Resuelve $θ$ en $\csc (θ) = \sqrt{2}$ .

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Paso 5.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $arccsc (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 5.3

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Paso 5.4

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.5

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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Paso 5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.6

El período de la función $\csc (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Resuelve $θ$ en $\csc (θ) = - \sqrt{2}$ .

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Paso 6.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (- \sqrt{2})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $arccsc (- \sqrt{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 6.3

La cosecante es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 6.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 6.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 6.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 6.6.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Paso 6.7

El período de la función $\csc (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$