Álgebra Ejemplos

$3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 1$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 6)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.3

Resta $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 71$ como $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (71)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.3

Resta $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.4

Reescribe $- 71$ como $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (71)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Paso 5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.3

Resta $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 71$ como $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (71)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Paso 6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Paso 8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Paso 9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$

Paso 10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ .

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Paso 10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 10.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 10.2.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 10.2.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 10.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 10.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 10.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 10.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 10.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

Paso 10.2.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Paso 12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$

Paso 12.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ .

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Paso 12.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

Paso 12.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 12.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 12.3.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 12.3.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 12.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 12.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 12.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 12.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 12.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

Paso 12.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Paso 13

La solución a $3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$ es $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$