Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 4} \div \frac{4 x + 16}{x + 2}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $13$ de $13 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 13 (x) + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.1.2

Reescribe $13$ como $1$ más $12$

$\frac{3 x^{2} + (1 + 12) x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 1 x + 12 x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x + 12 x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + x) + 12 x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 1) + 4 (3 x + 1)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{4 x + 16}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{1}{4 x + 16}$

Paso 5

Multiplica $\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x - 2}$ por $\frac{1}{4 x + 16}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) (4 x + 16)}$

Paso 6

Factoriza $4$ de $4 x + 16$ .

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Paso 6.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) (4 (x) + 16)}$

Paso 6.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) (4 x + 4 \cdot 4)}$

Paso 6.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 4$ .

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) (4 (x + 4))}$

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) \cdot 4 (x + 4)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 2) \cdot 4 (x + 4)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 1}{(x - 2) \cdot 4}$

Paso 8

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 2$ .

$\frac{3 x + 1}{4 (x - 2)}$