Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{x + 1} + \frac{4}{2 x - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2 x - 6$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 x - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x) - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x) + 2 (- 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{2}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3}{x + 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2}{x - 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2 (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x - 3) + 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x - 3) + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 \cdot 1 - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - x^{2} - - 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$\frac{5 x - 9 + 2 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.1

Suma $- 9$ y $2$ .

$\frac{5 x - 7 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.2.2

Suma $- 7$ y $5$ .

$\frac{5 x - x^{2} - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.2.3

Reordena $5 x$ y $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 5 x - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $5 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x + 2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.8

Simplifica la expresión.

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Paso 7.8.1

Reescribe $- (x^{2} - 5 x + 2)$ como $- 1 (x^{2} - 5 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x + 2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Paso 7.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 5 x + 2}{(x + 1) (x - 3)}$