Álgebra Ejemplos

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 (t^{2} - 16) = - 6$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} + 19 \cdot - 16 = - 6$

Paso 1.2

Multiplica $19$ por $- 16$ .

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} - 304 = - 6$

Paso 2

Sustituye $u = t^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - 77 u + 464 = - 6$

$u = t^{2}$

Paso 3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u^{2} - 77 u + 464 + 6 = 0$

Paso 4

Suma $464$ y $6$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 470 = 1410$ y cuya suma es $b = - 77$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 77$ de $- 77 u$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Paso 5.1.2

Reescribe $- 77$ como $- 30$ más $- 47$

$3 u^{2} + (- 30 - 47) u + 470 = 0$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 30 u - 47 u + 470 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 30 u) - 47 u + 470 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (u - 10) - 47 (u - 10) = 0$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 10$ .

$(u - 10) (3 u - 47) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

$3 u - 47 = 0$

Paso 7

Establece $u - 10$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 7.1

Establece $u - 10$ igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

Paso 7.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 10$

Paso 8

Establece $3 u - 47$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $3 u - 47$ igual a $0$ .

$3 u - 47 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $3 u - 47 = 0$ en $u$ .

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Paso 8.2.1

Suma $47$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 47$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $3 u = 47$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $3 u = 47$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{47}{3}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 10) (3 u - 47) = 0$ verdadera.

$u = 10, \frac{47}{3}$

Paso 10

Sustituye el valor real de $u = t^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$t^{2} = 10$

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Paso 11

Resuelve la primera ecuación para $t$ .

$t^{2} = 10$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 12.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{10}$

Paso 12.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \sqrt{10}$

Paso 12.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \sqrt{10}$

Paso 12.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Paso 13

Resuelve la segunda ecuación para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 14.1

Elimina los paréntesis.

$t^{2} = \frac{47}{3}$

Paso 14.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{\frac{47}{3}}$

Paso 14.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{47}{3}}$ .

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Paso 14.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{47}{3}}$ como $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$

Paso 14.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 14.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 14.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 14.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 14.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 14.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 14.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 14.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 14.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 14.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 14.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 14.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3}$

Paso 14.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$t = \pm \frac{\sqrt{47 \cdot 3}}{3}$

Paso 14.3.4.2

Multiplica $47$ por $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{141}}{3}$

Paso 14.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 14.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}$

Paso 14.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Paso 14.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Paso 15

La solución a $3 t^{4} - 77 t^{2} + 464 = - 6$ es $t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$ .

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Forma decimal:

$t = 3.16227766 \dots, - 3.16227766 \dots, 3.95811402 \dots, - 3.95811402 \dots$