Álgebra Ejemplos

$\frac{3 + \sqrt{18}}{1 + \sqrt{8}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{3 + \sqrt{9 (2)}}{1 + \sqrt{8}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{1 + \sqrt{8}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{8}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{4 (2)}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{(1 + 2 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}$

Paso 4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{1 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 5

Expande $(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (1 - 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 6.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 6.1.4

Multiplica $3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 7}$

Paso 6.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 7}$

Paso 6.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 7}$

Paso 6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 7}$

Paso 6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {\sqrt{2}}^{2}}{- 7}$

Paso 6.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 7}$

Paso 6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 7}$

Paso 6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 7}$

Paso 6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 7}$

Paso 6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{1}}{- 7}$

Paso 6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2}{- 7}$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 12}{- 7}$

Paso 6.2

Resta $12$ de $3$ .

$\frac{- 9 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{- 7}$

Paso 6.3

Suma $- 6 \sqrt{2}$ y $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 9 - 3 \sqrt{2}}{- 7}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- 9 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Paso 8

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$- \frac{- 1 (9) - 3 \sqrt{2}}{7}$

Paso 9

Factoriza $- 1$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$- \frac{- 1 (9) - (3 \sqrt{2})}{7}$

Paso 10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (9) - (3 \sqrt{2})$ .

$- \frac{- 1 (9 + 3 \sqrt{2})}{7}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$ por $1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Forma decimal:

$1.89180581 \dots$