Álgebra Ejemplos

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Paso 1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ por el conjugado de $0.8660254 + 0.5 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Paso 3

Multiplica.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.5

Expande $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.6.1.1

Multiplica $0.8660254$ por $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.2

Multiplica $- 0.5 i$ por $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.3

Multiplica $0.8660254$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.4

Mueve $1.5$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.5

Multiplica $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

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Paso 3.2.6.1.5.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.5.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.5.5

Multiplica $- 0.5$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.1.7

Multiplica $- 0.8660254$ por $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.2

Suma $0.8660254$ y $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.2.6.3

Suma $- 0.5 i$ y $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Expande $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $0.8660254$ por $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 0.5$ por $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $0.8660254$ por $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 0.5$ por $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Paso 3.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Paso 3.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Paso 3.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Paso 3.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Paso 3.3.2.9

Suma $- 0.4330127 i$ y $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $0$ por $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $- 0.25$ por $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Paso 3.3.4

Suma $0.75$ y $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Paso 3.3.5

Suma $0.75$ y $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Paso 4

Reescribe $1.7320508$ como $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Paso 5

Factoriza $1$ de $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Paso 6

Factoriza $1$ de $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Paso 7

Factoriza $1$ de $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Paso 8

Separa las fracciones.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Divide $1$ por $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Paso 9.2

Divide $1.7320508 + 1 i$ por $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Paso 10

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Paso 11

Multiplica.

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Paso 11.1

Multiplica $1$ por $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Paso 11.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$1.7320508 + 1 i$