Álgebra Ejemplos

$x^{4} + x^{3} - 51 x^{2} - 9 x + 378$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{3} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 378$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 51 u + 378$

Paso 7

Factoriza $u^{2} - 51 u + 378$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $378$ y cuya suma es $- 51$ .

$- 42, - 9$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x (x + 3) (x - 3) + (u - 42) (u - 9)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 9)$

Paso 9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 3^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Paso 11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$

Paso 11.3

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x + x^{2} - 42)$

Paso 12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (u + u^{2} - 42)$

Paso 13

Factoriza $u + u^{2} - 42$ con el método AC.

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Paso 13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $1$ .

$- 6, 7$

Paso 13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 6) (u + 7))$

Paso 14

Factoriza.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 6) (x + 7))$

Paso 14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x - 6) (x + 7)$