Álgebra Ejemplos

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ como una ecuación.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Paso 3.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - y)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Paso 3.4.3.1.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.3.1.4.1

Mueve $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $y x$ de $- x y$ .

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Paso 3.4.3.1.3.2.1

Mueve $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Paso 3.5.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Paso 3.5.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Paso 3.5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ y $c = x^{2} + 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6

Simplifica.

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Paso 3.5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Paso 3.5.6.1.5.1

Reescribe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.2

Expande $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.6.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.6.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.6.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5.3.2

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

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Paso 3.5.6.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.2

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8

Simplifica.

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Paso 3.5.6.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.6.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Paso 3.5.6.1.8.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.2.2

Suma $4 x + 4$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.8.2.4

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.10

Reescribe $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Paso 3.5.6.1.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.5.1

Reescribe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.2

Expande $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.7.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.7.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5.3.2

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.2

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.1.8.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.2.2

Suma $4 x + 4$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.8.2.4

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.10

Reescribe $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Paso 3.5.7.1.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7.4

Cancela el factor común de $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ y $2$ .

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Paso 3.5.7.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.7.4.4

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Paso 3.5.7.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Paso 3.5.7.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.7.4.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Paso 3.5.7.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Paso 3.5.7.4.6.4

Divide $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ por $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Paso 3.5.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5

Sea $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Paso 3.5.8.1.5.1

Reescribe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.2

Expande $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.8.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.8.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.8.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.5.3.2

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

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Paso 3.5.8.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.2

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8

Simplifica.

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Paso 3.5.8.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.8.1.8.1.1

Multiplica $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Paso 3.5.8.1.8.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.2.2

Suma $4 x + 4$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.8.2.4

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.10

Reescribe $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Paso 3.5.8.1.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.8.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.8.4

Cancela el factor común de $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ y $2$ .

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Paso 3.5.8.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.8.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.8.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Paso 3.5.8.4.4

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Paso 3.5.8.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Paso 3.5.8.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.8.4.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Paso 3.5.8.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.8.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Paso 3.5.8.4.6.4

Divide $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ por $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Paso 3.5.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ es la inversa de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ y $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ no es igual al rango de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ no es una inversa de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

No hay una inversa

Paso 6