Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 2) + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 4.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 5

Para escribir $- \frac{x}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$

Paso 6.2

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.4

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 2 + 0 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.5

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{- 2 x + 2 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.6

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.7

Factoriza $2$ de $- 4 x + 2$ .

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Paso 8.7.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.7.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.7.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (2 x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$