Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

Paso 3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ y cuya suma es $b = - 18$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 18$ de $- 18 y$ .

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

Paso 3.2.2

Reescribe $- 18$ como $- 9$ más $- 9$

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

Paso 3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y - 9$ .

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

Paso 4

Reescribe $(y + 9) (y + 9)$ como ${(y + 9)}^{2}$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

Paso 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x - 5$ y $b = y + 9$ .

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Suma $- 5$ y $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

Paso 6.4

Resta $9$ de $- 5$ .

$(x + y + 4) (x - y - 14)$