Álgebra Ejemplos

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$(- \infty, 0]$

Paso 1.2

Convierte $(- \infty, 0]$ en una desigualdad.

$y \leq 0$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = - \sqrt{y + 2}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{y + 2} = x$ .

$- \sqrt{y + 2} = x$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $- \sqrt{y + 2} = x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $- \sqrt{y + 2} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Divide $\sqrt{y + 2}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

Paso 2.2.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{y + 2} = - x$

Paso 2.2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 2}$ como ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Simplifica ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.3.1

Simplifica ${(- x)}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Paso 2.2.4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y + 2 = 1 x^{2}$

Paso 2.2.4.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y + 2 = x^{2}$

Paso 2.2.5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 2$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

Paso 4