Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$

Paso 1

Reescribe $\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = 8 x - x^{2}$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $8 x - x^{2} = 2^{4}$ .

$8 x - x^{2} = 2^{4}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$8 x - x^{2} = 16$

Paso 2.3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x - x^{2} - 16 = 0$

Paso 2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza $- 1$ de $8 x - x^{2} - 16$ .

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Paso 2.4.1.1

Reordena $8 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 8 x - 16 = 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x - 16 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $- 1$ de $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 16 = 0$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Paso 2.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Paso 2.4.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 8 x) - 1 (16)$ .

$- (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Paso 2.4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Paso 2.4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 2.4.2.3

Reescribe el polinomio.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.5

Divide cada término en $- {(x - 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $- {(x - 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Divide ${(x - 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.7

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$