Álgebra Ejemplos

$\log_{x} (64 x) = 4$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (64 x) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{4} = 64 x$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $64 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 64 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4} - 64 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 64 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 64 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 64 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 64$ .

$x (x^{3} - 64) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$x (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Paso 2.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Paso 2.2.4.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Paso 2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$