Álgebra Ejemplos

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) \geq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{0} = 5 x - 1$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$ .

$5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$

Paso 2.2.2

Simplifica ${(\frac{1}{5})}^{0}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$5 x - 1 = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Paso 2.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{5^{0}}$

Paso 2.2.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $1$ por $1$ .

$5 x - 1 = 1$

Paso 2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 1 + 1$

Paso 2.2.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$5 x = 2$

Paso 2.2.4

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 x - 1 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$5 x > 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $5 x > 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $5 x > 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{5}$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(\frac{1}{5}, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0) - 1) \geq 0$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.3$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.3$ en la desigualdad original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0.3) - 1) \geq 0$

Paso 5.2.3

$0.43067655$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{2}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{2}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (3) - 1) \geq 0$

Paso 5.3.3

$- 1.63973851$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{5}$ Falso

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Verdadero

$x > \frac{2}{5}$ Falso

$x < \frac{1}{5}$ Falso

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Verdadero

$x > \frac{2}{5}$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$

Paso 8