Álgebra Ejemplos

$3 e^{2 x} - 8 = 2 e^{x}$

Paso 1

Resta $2 e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 e^{2 x} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Paso 2

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

$3 {(e^{x})}^{2} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$3 u^{2} - 8 - 2 u = 0$

Paso 4

Mueve $- 8$ .

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$3 u^{2} + (4 - 6) u - 8 = 0$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} + 4 u - 6 u - 8 = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} + 4 u) - 6 u - 8 = 0$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u + 4) - 2 (3 u + 4) = 0$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 4$ .

$(3 u + 4) (u - 2) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 u + 4 = 0$

$u - 2 = 0$

Paso 5.3

Establece $3 u + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.1

Establece $3 u + 4$ igual a $0$ .

$3 u + 4 = 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $3 u + 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 u = - 4$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $3 u = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $3 u = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{4}{3}$

Paso 5.4

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 u + 4) (u - 2) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{4}{3}, 2$

Paso 6

Sustituye $- \frac{4}{3}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{4}{3} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $- \frac{4}{3} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{4}{3}$ .

$e^{x} = - \frac{4}{3}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{4}{3})$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{4}{3})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \frac{4}{3}$

No hay solución

Paso 8

Sustituye $2$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Paso 9

Resuelve $2 = e^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 9.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 9.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 9.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 9.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (2)$

Forma decimal:

$x = 0.69314718 \dots$