Álgebra Ejemplos

$x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} + x^{2} - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5} + x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.2.2

Multiplica por $1$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{3} + 1) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} + 1^{3}) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Simplifica.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) - 3 x^{4} + x^{3} + 4 = 0$

Paso 1.6

Factoriza $- 3 x^{4} + x^{3} + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.6.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.6.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Paso 1.6.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.6.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$- 3 {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + 4$

Paso 1.6.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 3 \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 4$

Paso 1.6.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 + {(- 1)}^{3} + 4$

Paso 1.6.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 3 - 1 + 4$

Paso 1.6.3.5

Resta $1$ de $- 3$ .

$- 4 + 4$

Paso 1.6.3.6

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 1.6.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 3 x^{4} + x^{3} + 4}{x + 1}$

Paso 1.6.5

Divide $- 3 x^{4} + x^{3} + 4$ por $x + 1$ .

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Paso 1.6.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.6.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.6.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 1.6.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 1.6.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

Paso 1.6.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.6.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 1.6.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.6.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.6.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 1.6.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.6.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Paso 1.6.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.6.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 4 x$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.6.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.6.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Paso 1.6.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Paso 1.6.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Paso 1.6.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 4$ .

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Paso 1.6.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Paso 1.6.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4$

Paso 1.6.6

Escribe $- 3 x^{4} + x^{3} + 4$ como un conjunto de factores.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.7

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4)$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1) - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.9.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 1) (x^{2 + 2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.9.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$(x + 1) (x^{4} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.9.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.9.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1

Mueve $x$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.10.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 1) (x^{4} - x^{1 + 2} + x^{2} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.10.3

Suma $1$ y $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.11

Resta $3 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 4 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.12

Suma $x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece $x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} - 4 x$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 1 + x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4.2.1.2.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (1)$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4.2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 5 u + 4 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $u^{2} + 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 4.2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 4 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 4) = 0$

Paso 4.2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 4.2.1.7

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 4 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 4 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 4 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 4.2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 4 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 1) (- 4 x + x^{2} + 4) = 0$

Paso 4.2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 1) (- 4 u + u^{2} + 4) = 0$

Paso 4.2.1.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.2.1.9.1

Reorganiza los términos.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Paso 4.2.1.9.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Paso 4.2.1.9.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Paso 4.2.1.9.4

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 4.2.1.9.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 4.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 4.2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 4.2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 4.2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 4.2.4

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.4.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = i, - i, 2$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, i, - i, 2$

Paso 6