Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 6 x + 4$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2}) + 6 x + 4}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2}) + 2 (3 x) + 4}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 2}$

Paso 1.4.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2}$

Paso 1.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2} + 3 x + 2)}$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))}$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x - 1) (x + 2), (x + 1) (x - 1), 2 (x + 1) (x + 2)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 2.6

El factor para $x - 1$ es $x - 1$ en sí mismo.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El factor para $x - 1$ es $x - 1$ en sí mismo.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.11

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.12

El MCM de $x - 1, x + 2, x + 1, x - 1, x + 1, x + 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1)$

Paso 2.13

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$ por $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$ por $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2 \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $(x - 1) (x + 2)$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$6 (x + 1) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 6 \cdot 1 - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 x + 6 - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $(x - 1) (x + 1)$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ al numerador.

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.6.2

Factoriza $(x - 1) (x + 1)$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) (1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.6.3

Factoriza $(x - 1) (x + 1)$ de $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1) (2 (x + 2))) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.6.4

Cancela el factor común.

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1) (2 (x + 2))) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.6.5

Reescribe la expresión.

$6 x + 6 - (2 (x + 2)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 x + 6 - 2 (x + 2) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 6 - 2 x - 2 \cdot 2 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$6 x + 6 - 2 x - 4 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Resta $2 x$ de $6 x$ .

$4 x + 6 - 4 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.2.2.2

Resta $4$ de $6$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 (x + 1) (x + 2)$ .

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $(x + 2) (x + 1)$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $(x + 2) (x + 1)$ de $(x + 1) (x + 2)$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $(x + 2) (x + 1)$ de $(x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) (1)} ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Paso 3.3.3.3

Cancela el factor común.

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) \cdot 1} ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Paso 3.3.3.4

Reescribe la expresión.

$4 x + 2 = 7 (x - 1)$

Paso 3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 2 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Paso 3.3.5

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$4 x + 2 = 7 x - 7$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x + 2 - 7 x = - 7$

Paso 4.1.2

Resta $7 x$ de $4 x$ .

$- 3 x + 2 = - 7$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - 7 - 2$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de $- 7$ .

$- 3 x = - 9$

Paso 4.3

Divide cada término en $- 3 x = - 9$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- 3 x = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $- 9$ por $- 3$ .

$x = 3$