Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Paso 2.2.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Paso 2.2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Paso 2.2.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Paso 2.2.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$8 - 16 + 8$

Paso 2.2.1.3.5

Resta $16$ de $8$ .

$- 8 + 8$

Paso 2.2.1.3.6

Suma $- 8$ y $8$ .

$0$

Paso 2.2.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Paso 2.2.1.5

Divide $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ por $x - 2$ .

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Paso 2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Paso 2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Paso 2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Paso 2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Paso 2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Paso 2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Paso 2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Paso 2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Paso 2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x - 4$

Paso 2.2.1.6

Escribe $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ como un conjunto de factores.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Establece $x^{2} - 2 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} - 2 x - 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Paso 9.1.3

$480$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $1 - \sqrt{5} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 - \sqrt{5} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Paso 9.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Paso 9.3.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Paso 9.4.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Paso 9.5.3

$480$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Verdadero

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{5}$ Verdadero

$x < 1 - \sqrt{5}$ Verdadero

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{5}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ o $0 \leq x \leq 2$ o $x \geq 1 + \sqrt{5}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Paso 12