Álgebra Ejemplos

$7 \sqrt{3 x + 9} - 12 \leq 30$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $7 \sqrt{3 x + 9}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $12$ a ambos lados de la desigualdad.

$7 \sqrt{3 x + 9} \leq 30 + 12$

Paso 1.2

Suma $30$ y $12$ .

$7 \sqrt{3 x + 9} \leq 42$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(7 \sqrt{3 x + 9})}^{2} \leq 42^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 9}$ como ${(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{2} {({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$49 {({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$49 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$49 {(3 x + 9)}^{1} \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$49 (3 x + 9) \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$49 (3 x) + 49 \cdot 9 \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica.

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Paso 3.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $49$ .

$147 x + 49 \cdot 9 \leq 42^{2}$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $49$ por $9$ .

$147 x + 441 \leq 42^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Eleva $42$ a la potencia de $2$ .

$147 x + 441 \leq 1764$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Resta $441$ de ambos lados de la desigualdad.

$147 x \leq 1764 - 441$

Paso 4.1.2

Resta $441$ de $1764$ .

$147 x \leq 1323$

Paso 4.2

Divide cada término en $147 x \leq 1323$ por $147$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $147 x \leq 1323$ por $147$ .

$\frac{147 x}{147} \leq \frac{1323}{147}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $147$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{147 x}{147} \leq \frac{1323}{147}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{1323}{147}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $1323$ por $147$ .

$x \leq 9$

Paso 5

Obtén el dominio de $7 \sqrt{3 (x + 3)} - 42$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (x + 3)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x + 3) \geq 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 (x + 3) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $3 (x + 3) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 3)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 3 \geq 0$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 3$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 3, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 9$

$x > 9$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$7 \sqrt{3 (- 6) + 9} - 12 \leq 30$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$7 \sqrt{3 (0) + 9} - 12 \leq 30$

Paso 7.2.3

$9$ del lado izquierdo es menor que $30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$7 \sqrt{3 (12) + 9} - 12 \leq 30$

Paso 7.3.3

$34.95742752$ del lado izquierdo es mayor que $30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 \leq x \leq 9$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 \leq x \leq 9$

Notación de intervalo:

$[- 3, 9]$

Paso 10