Álgebra Ejemplos

$\frac{3 y + 2}{y^{2} + 5 y - 24} + \frac{7}{y^{2} + 4 y - 32}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} + 5 y - 24$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $5$ .

$- 3, 8$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)} + \frac{7}{y^{2} + 4 y - 32}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + 4 y - 32$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $4$ .

$- 4, 8$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)} + \frac{7}{(y - 4) (y + 8)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} + \frac{7}{(y - 4) (y + 8)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{7}{(y - 4) (y + 8)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} + \frac{7}{(y - 4) (y + 8)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 3) (y + 8) (y - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 y + 2}{(y - 3) (y + 8)}$ por $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 4)}{(y - 3) (y + 8) (y - 4)} + \frac{7}{(y - 4) (y + 8)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{7}{(y - 4) (y + 8)}$ por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 4)}{(y - 3) (y + 8) (y - 4)} + \frac{7 (y - 3)}{(y - 4) (y + 8) (y - 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y - 3) (y + 8) (y - 4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 4)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)} + \frac{7 (y - 3)}{(y - 4) (y + 8) (y - 3)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(y - 4) (y + 8) (y - 3)$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 4)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)} + \frac{7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 y + 2) (y - 4) + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(3 y + 2) (y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y (y - 4) + 2 (y - 4) + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 + 2 (y - 4) + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2} - 12 y + 2 y + 2 \cdot - 4 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{3 y^{2} - 12 y + 2 y - 8 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 12 y$ y $2 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 10 y - 8 + 7 (y - 3)}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} - 10 y - 8 + 7 y + 7 \cdot - 3}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$\frac{3 y^{2} - 10 y - 8 + 7 y - 21}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.5

Suma $- 10 y$ y $7 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 3 y - 8 - 21}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.6

Resta $21$ de $- 8$ .

$\frac{3 y^{2} - 3 y - 29}{(y + 8) (y - 3) (y - 4)}$