Álgebra Ejemplos

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ $x + 2 y = 6$

Paso 1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $6 - 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ por $6 - 2 y$ .

$y - 5 = {((6 - 2 y) - 2)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${((6 - 2 y) - 2)}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1.1

Resta $2$ de $6$ .

$y - 5 = {(- 2 y + 4)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe ${(- 2 y + 4)}^{2}$ como $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ .

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.2

Expande $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y + 4) + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.4

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Paso 2.2.1.3.2

Resta $8 y$ de $- 8 y$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$ .

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Paso 3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 y^{2} - 16 y + 16 = y - 5$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 16 y + 16 - y = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.2.2

Resta $y$ de $- 16 y$ .

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 17 y + 16 + 5 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.3.2

Suma $16$ y $5$ .

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 17$ y $c = 21$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 21)}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.3

Resta $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.3

Resta $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.4

Reescribe $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.7.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Paso 3.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.3

Resta $336$ de $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.4

Reescribe $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.8.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 3.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 6 - 2 y$ por $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 + i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ como $- \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ .

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.3

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 6 - 2 y$ por $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 - i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe $- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ como $- \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ .

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.3

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 5.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}, y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}, y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Paso 7