Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{x^{2} + 7 x - 18}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 7 x - 18$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $7$ .

$- 2, 9$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x}{x + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x + 9)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{x - 2}$ por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x}{x + 9}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 9)$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x + 9) (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 9 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2 x + 18 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 18 + x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 \cdot x - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.3.7

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.4.1

Combina los términos opuestos en $2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20$ .

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Paso 5.4.1.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{18 + x^{2} + 0 - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.4.1.2

Suma $18 + x^{2}$ y $0$ .

$\frac{18 + x^{2} - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 5.4.2

Resta $20$ de $18$ .

$\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x + 9}$