Álgebra Ejemplos

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

Paso 1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

Paso 2

Resta $x^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $- x$ de $18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.1.1.1

Mueve $- 81 x$ .

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

Paso 3.1.1.2

Reordena $18 x^{3}$ y $- x^{5}$ .

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $- x$ de $- x^{5}$ .

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $- x$ de $18 x^{3}$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $- x$ de $- 81 x$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $- x$ de $- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Paso 3.1.6

Factoriza $- x$ de $- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Paso 3.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Paso 3.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Paso 3.4.3

Reescribe el polinomio.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 3.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 9$ .

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

Paso 3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Paso 3.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Paso 3.8

Factoriza.

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Paso 3.8.1

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Paso 3.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, 3$