Álgebra Ejemplos

$\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{8 - p}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - p}$ como ${(8 - p)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(8 - p)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$8 - p = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ .

$8 - p = (2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - p = 2 (2 + \sqrt{2 p + 3}) + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \cdot \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{2 p + 3}$ a la potencia de $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} \sqrt{2 p + 3}$

Paso 2.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{2 p + 3}$ a la potencia de $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} {\sqrt{2 p + 3}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2 p + 3}}^{2}$ como $2 p + 3$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 p + 3}$ como ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p + 3$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$8 - p = 7 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $2 \sqrt{2 p + 3}$ y $2 \sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Paso 3

Resuelve $4 \sqrt{2 p + 3}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$ .

$7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $4 \sqrt{2 p + 3}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p - 7$

Paso 3.2.2

Resta $2 p$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sqrt{2 p + 3} = 8 - p - 7 - 2 p$

Paso 3.2.3

Resta $7$ de $8$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - p + 1 - 2 p$

Paso 3.2.4

Resta $2 p$ de $- p$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - 3 p + 1$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(4 \sqrt{2 p + 3})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 p + 3}$ como ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(2 p + 3)}^{1} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$16 (2 p + 3) = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (2 p) + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 p + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $16$ por $3$ .

$32 p + 48 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- 3 p + 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(- 3 p + 1)}^{2}$ como $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ .

$32 p + 48 = (- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p + 1) + 1 (- 3 p + 1)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p + 1)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p \cdot p - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $p$ por $p$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 (p \cdot p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $p$ por $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $- 3 p$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $3 p$ de $- 3 p$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 6 p + 1$

Paso 6

Resuelve $p$

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Paso 6.1

Como $p$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 p^{2} - 6 p + 1 = 32 p + 48$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $p$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $32 p$ de ambos lados de la ecuación.

$9 p^{2} - 6 p + 1 - 32 p = 48$

Paso 6.2.2

Resta $32 p$ de $- 6 p$ .

$9 p^{2} - 38 p + 1 = 48$

Paso 6.3

Resta $48$ de ambos lados de la ecuación.

$9 p^{2} - 38 p + 1 - 48 = 0$

Paso 6.4

Resta $48$ de $1$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Paso 6.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 47 = - 423$ y cuya suma es $b = - 38$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $- 38$ de $- 38 p$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Paso 6.5.1.2

Reescribe $- 38$ como $9$ más $- 47$

$9 p^{2} + (9 - 47) p - 47 = 0$

Paso 6.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 p^{2} + 9 p - 47 p - 47 = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 p^{2} + 9 p) - 47 p - 47 = 0$

Paso 6.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$9 p (p + 1) - 47 (p + 1) = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $p + 1$ .

$(p + 1) (9 p - 47) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$p + 1 = 0$

$9 p - 47 = 0$

Paso 6.7

Establece $p + 1$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 6.7.1

Establece $p + 1$ igual a $0$ .

$p + 1 = 0$

Paso 6.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$p = - 1$

Paso 6.8

Establece $9 p - 47$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 6.8.1

Establece $9 p - 47$ igual a $0$ .

$9 p - 47 = 0$

Paso 6.8.2

Resuelve $9 p - 47 = 0$ en $p$ .

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Paso 6.8.2.1

Suma $47$ a ambos lados de la ecuación.

$9 p = 47$

Paso 6.8.2.2

Divide cada término en $9 p = 47$ por $9$ y simplifica.

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Paso 6.8.2.2.1

Divide cada término en $9 p = 47$ por $9$ .

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Paso 6.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Paso 6.8.2.2.2.1.2

Divide $p$ por $1$ .

$p = \frac{47}{9}$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(p + 1) (9 p - 47) = 0$ verdadera.

$p = - 1, \frac{47}{9}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$ sea verdadera.

$p = - 1$